证明样本方差是总体 方差的无偏估计

在统计学中，方差是一个重要的概念，用来衡量数据的离散程度。在实际应用中，我们通常只能获得一个样本，而无法获取总体数据。因此，我们需要通过样本来估计总体的参数。在这篇文章中，我们将探讨样本方差作为总体方差的无偏估计。

1. 什么是方差

方差是衡量数据离散程度的一种统计量。对于一个数据集，我们可以计算每个数据点与数据集均值的差的平方，并求和，再除以数据个数得到方差。方差越大，表示数据的分散程度越大。

2. 总体方差与样本方差

总体方差是指对于所有的数据，计算方差所得到的值。但在实际应用中，我们无法获得所有数据，只能获得一个样本。样本方差是基于样本数据计算得到的方差，用来估计总体方差。

3. 样本方差的计算公式

样本方差的计算公式如下：

s2 = Σ(xi – x?)2 / (n-1)

其中，xi表示第i个观测值，x?表示样本均值，n表示样本容量。分母为(n-1)是因为样本方差估计量应该比总体方差小一些。

4. 证明样本方差是总体方差的无偏估计

要证明样本方差是总体方差的无偏估计，需要证明样本方差的期望等于总体方差。

设X?, X?, …, Xn是来自总体的n个独立随机变量，其均值为μ，方差为σ2。样本方差的计算公式可以改写为：

s2 = Σ(xi – x?)2 / n

根据样本方差的计算公式，可以得到：

E[s2] = E[Σ(xi – x?)2 / n]

根据期望的线性性质，可以将期望拆分为：

E[s2] = 1/n * E[Σ(xi – x?)2]

由于样本均值x?是样本观测值xi的线性组合，可以得到：

E[(xi – x?)2] = E[(xi – μ + μ – x?)2]

将其展开并展开：

E[(xi – x?)2] = E[(xi – μ)2] + 2(x? – μ)E[(xi – μ)] + E[(x? – μ)2]

由于样本均值x?是样本观测值xi的线性组合，可以得到：

E[(xi – x?)2] = E[(xi – μ)2] – 2(x? – μ)E[(xi – μ)] + E[(x? – μ)2]

根据方差性质，可以得到：

E[(xi – x?)2] = E[(xi – μ)2] – 2(x? – μ)E[(xi – μ)] + Var(x?)

由于样本均值x?是样本观测值xi的线性组合，可以得到：

E[(xi – x?)2] = E[(xi – μ)2] – 2(x? – μ)E[(xi – μ)] + σ2/n

根据方差的定义，可以得到：

E[(xi – x?)2] = (n-1)σ2/n

将以上结果代入原公式，可以得到：

E[s2] = 1/n * E[ Σ(xi – x?)2 ] = σ2

因此，样本方差的期望等于总体方差，证明了样本方差是总体方差的无偏估计。

5. 结论

通过上述证明，我们可以得出结论：样本方差是总体方差的无偏估计。在实际应用中，当我们只能获得一个样本时，可以使用样本方差来估计总体方差，以便进行后续的统计推断。

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